L3 Analyse complexe Théorème des résidus 4 questions

exo7 6593

Trouver les séries de Laurent par rapport aux singularités indiquées pour chacune des fonctions suivantes. Caractériser la singularité dans chaque cas et donner le domaine de convergence de chaque série.

1

ez(z−1)2,z=1,\frac {e^z}{(z-1)^2}, \qquad z=1,

2

zcos⁡1z,z=0,z \cos \frac 1z,\qquad z=0,

3

sin⁡zz−π,z=π,\frac {\sin z}{z -\pi},\qquad z=\pi,

4

z(z+1)(z+2),z=−1.\frac z{(z+1)(z+2)},\qquad z=-1.

Exercice s4bi

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