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On considère la fonction analytique \(f(z) = \frac1{\sin(z)}\) sur l’ouvert \(U\) complémentaire de \(\pi\Zz\). Vérifier que la fonction \(\sin(z)\) ne s’annule jamais sur \(U\). Déterminer en tout \(z_0\in U\) donné le rayon de convergence du développement en série de Taylor de \(f\). Remarque : il est déconseillé de chercher à résoudre ce problème en déterminant explicitement les coefficients des séries de Taylor.