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On considère la fonction analytique $f(z) = \frac1{\sin(z)}$ sur l’ouvert $U$ complémentaire de $\pi\Zz$. Vérifier que la fonction $\sin(z)$ ne s’annule jamais sur $U$. Déterminer en tout $z_0\in U$ donné le rayon de convergence du développement en série de Taylor de $f$. Remarque : il est déconseillé de chercher à résoudre ce problème en déterminant explicitement les coefficients des séries de Taylor.