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En utilisant le théorème de Rouché, on se propose de donner une preuve du théorème d’inversion local “holomorphe” n’utilisant pas le théorème d’inversion local dans $\Rr^2$ .

Soit donc $f$ une fonction holomorphe au voisinage d’un point $z_0$ de $\Cc$ telle que $f'(z_0)\ne0$ . On suppose sans restreindre la généralité que $z_0=0$ , $f(z_0)=0$ , et $f'(z_0)=1$ .

Montrer qu’il existe un voisinage $V$ de $z_0$ et une constante $K>0$ tel que l’on ait, pour tout $z$ dans $V$ , $|f(z) - z|\le K\,|z^2|$ .

Montrer qu’il existe $r>0$ tel que, si l’on a $|\alpha|<r/2$ , l’équation $f(z) = \alpha$ a une solution unique dans le disque $D(0,r)$ .

Montrer enfin qu’il existe un ouvert $U$ de $\Cc$ tel que $f$ soit une bijection de $U$ sur le disque $D(0, r/2)$ .

En déduire que $g = f^{-1}$ est continue sur le disque $D(0,r/2)$ et, de là, que $g$ est holomorphe dans ce disque.

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