En utilisant le théorème de Rouché, on se propose de donner une preuve du théorème d’inversion local “holomorphe” n’utilisant pas le théorème d’inversion local dans \(\Rr^2\).
Soit donc \(f\) une fonction holomorphe au voisinage d’un point \(z_0\) de \(\Cc\) telle que \(f'(z_0)\ne0\). On suppose sans restreindre la généralité que \(z_0=0\), \(f(z_0)=0\), et \(f'(z_0)=1\).
Montrer qu’il existe un voisinage \(V\) de \(z_0\) et une constante \(K>0\) tel que l’on ait, pour tout \(z\) dans \(V\), \(|f(z) - z|\le K\,|z^2|\).
Montrer qu’il existe \(r>0\) tel que, si l’on a \(|\alpha|<r/2\), l’équation \(f(z) = \alpha\) a une solution unique dans le disque \(D(0,r)\).
Montrer enfin qu’il existe un ouvert \(U\) de \(\Cc\) tel que \(f\) soit une bijection de \(U\) sur le disque \(D(0, r/2)\).
En déduire que \(g = f^{-1}\) est continue sur le disque \(D(0,r/2)\) et, de là, que \(g\) est holomorphe dans ce disque.