Soit \(X\) une v.a.r. admettant pour densité \(f_\theta(x) = \frac{1}{\theta} \exp\left(-\frac{x - \theta}{\theta}\right) \mathbf{1}_{[\theta,+\infty[}(x)\), où \(\theta > 0\) est inconnu, et \((X_1, \ldots, X_n)\) un échantillon i.i.d. de même loi que \(X\).
1
Montrer que \(X/\theta - 1\) suit une loi exponentielle \(E(1)\).
2
Déterminer la fonction de répartition de \(X^{(1)} = \min_{1 \leq i \leq n} X_i\).
3
Étudier la convergence de \(X^{(1)}\) vers \(\theta\) en moyenne quadratique.
4
Construire un intervalle de confiance pour \(\theta\) de niveau \((1-\alpha)\).