Notons $I = \int_a^b \frac{f(t)^n}{m^n}dt.$ Comme $f(t) \leqslant m$ pour tout $t\in [a,b]$ alors $I \leqslant 1$ . Ceci implique que $\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} \leqslant 1$ . Fixons $\alpha >0$ (aussi petit que l’on veut). Comme $f$ est continue et $m$ est sa borne supérieure sur $[a,b]$ alors il existe un intervalle $[x,y]$ , ( $x<y$ ), sur le quel $f(t) \geqslant m - \alpha$ . Comme $f$ est positive alors $I \geqslant \int_x^y \frac{f(t)^n}{m^n}dt \geqslant \int_x^y \frac{(m-\alpha)^n}{m^n} = (y-x)\left(\frac{m-\alpha}{m}\right)^n$ .

Donc $I^{\frac1n} \geqslant (y-x)^{\frac1n} \frac{m-\alpha}{m}$ . Quand $n\to+\infty$ on a $(y-x)^{\frac1n} \to 1$ , donc à la limite nous obtenons $\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} \geqslant \frac{m-\alpha}{m}$ .

Comme $\alpha$ est quelconque, nous pouvons le choisir aussi proche de $0$ de sorte que $\frac{m-\alpha}{m}$ est aussi proche de $1$ que désiré. Donc $\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} \geqslant 1$ .

En conclusion nous trouvons que $\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} = 1$ ce qui était l’égalité recherchée.

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