Notons \(I = \int_a^b \frac{f(t)^n}{m^n}dt.\) Comme \(f(t) \leqslant m\) pour tout \(t\in [a,b]\) alors \(I \leqslant 1\). Ceci implique que \(\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} \leqslant 1\). Fixons \(\alpha >0\) (aussi petit que l’on veut). Comme \(f\) est continue et \(m\) est sa borne supérieure sur \([a,b]\) alors il existe un intervalle \([x,y]\), (\(x<y\)), sur le quel \(f(t) \geqslant m - \alpha\). Comme \(f\) est positive alors \[I \geqslant \int_x^y \frac{f(t)^n}{m^n}dt \geqslant \int_x^y \frac{(m-\alpha)^n}{m^n} = (y-x)\left(\frac{m-\alpha}{m}\right)^n\].

Donc \(I^{\frac1n} \geqslant (y-x)^{\frac1n} \frac{m-\alpha}{m}\). Quand \(n\to+\infty\) on a \((y-x)^{\frac1n} \to 1\), donc à la limite nous obtenons \(\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} \geqslant \frac{m-\alpha}{m}\).

Comme \(\alpha\) est quelconque, nous pouvons le choisir aussi proche de \(0\) de sorte que \(\frac{m-\alpha}{m}\) est aussi proche de \(1\) que désiré. Donc \(\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} \geqslant 1\).

En conclusion nous trouvons que \(\lim_{n\to+\infty} I^{\frac1n} = 1\) ce qui était l’égalité recherchée.

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