Le déterminant du système est $\Delta=\text{Van}(1,\ldots,n)\neq0$ . Le système proposé est donc un système de Cramer.

Les formules de Cramer donnent : $\forall j\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $x_j=\frac{\Delta_j}{\Delta}$ où

$\begin{align*}\ensuremath \Delta_j&=\left| \begin{array}{ccccccc} 1&\ldots&1&1&1&\ldots&1\\ 1& &j-1&0&j+1& &n\\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ & \\ & \\ \vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&\ldots&(j-1)^{n-1}&0&(j+1)^{n-1}&\ldots&n^{n-1} \end{array} \right|\\ &= (-1)^{j+1}\left| \begin{array}{cccccc} 1&\ldots&j-1&j+1&\ldots&n\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ & \\ & \\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&\ldots&(j-1)^{n-1}&(j+1)^{n-1}&\ldots&n^{n-1} \end{array} \right|(\text{en développant suivant la}\;j\text{-ème colonne})\\ &= (-1)^{j+1}1...(j-1)(j+1)...n\left| \begin{array}{cccccc} 1&\ldots&1&1&\ldots&1\\ 1& &j-1&j+1& &n\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ & \\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&\ldots&(j-1)^{n-2}&(j+1)^{n-2}&\ldots&n^{n-2} \end{array} \right|(\text{par}\;n-\text{linéarité})\\ & = (-1)^{j+1}\frac{n!}{j}\text{Van}(1,...,(j-1),(j+1),...,n) = (-1)^{j+1}\frac{n!}{j}\frac{\text{Van}(1,...,n)}{(j-1)\ldots(j-(j-1))((j+1)-j)\ldots(n-j)}\\ &= (-1)^{j+1}\frac{n!}{j!(n-j)!}\text{Van}(1,...,n)=(-1)^{j+1}\dbinom{n}{j}\text{Van}(1,...,n). \end{align*}$

Finalement,

$\forall j\in\llbracket1,n\rrbracket$ , $x_j =(-1)^{j+1}\dbinom{n}{j}$ .

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