Soit $q=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}$ .

$q^2=\frac{1}{n}\sum_{(g,h)\in G^2}^{}h\circ p\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}$ .

Mais si $g$ et $h$ sont deux éléments de $G$ et $x$ est un vecteur quelconque de $E$ , $p(g^{-1}(x))$ est dans $F$ et donc par hypothèse $h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}(x)$ est encore dans $F$ ( $h^{-1}$ est dans $G$ puisque $G$ est un groupe). On en déduit que

$h\circ p\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}=h\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}=g\circ p\circ g^{-1}$ .

Mais alors

$q^2=\frac{1}{n^2}\sum_{(g,h)\in G^2}^{}g\circ p\circ g^{-1}=\frac{1}{n^2}\times n\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}= q$

et $q$ est un projecteur.

Montrons que $F\subset\text{Im}q$ . Soit $x$ un élément de $F$ . Pour chaque $g\in G$ , $g^{-1}(x)$ est encore dans $F$ et donc $p(g^{-1}(x))=g^{-1}(x)$ puis $g(p(g^{-1}(x)))=x$ . Mais alors

$q(x)=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}x=x$ ,

ou encore $x$ est dans $\text{Im}q$ . On a montré que $F\subset\text{Im}q$ .

Montrons que $\text{Im}q\subset F$ . Soit $x$ un élément de $\text{Im}q$ .

$\begin{align*}\ensuremath p(x)&=p(q(x))=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}p\circ g\circ p\circ g^{-1}(x)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}(x)\;(\text{car}\;p\circ g^{-1}(x)\in F\;\text{et donc}\;g\circ p\circ g^{-1}(x)\in F)\\ &=q(x) = x, \end{align*}$

et $x$ est dans $F$ . On a montré que $\text{Im}q\subset F$ et finalement que $\text{Im}q=F$ .

$q$ est un projecteur d’image $F$ .

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