Soit \(q=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}\).

\(q^2=\frac{1}{n}\sum_{(g,h)\in G^2}^{}h\circ p\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}\).

Mais si \(g\) et \(h\) sont deux éléments de \(G\) et \(x\) est un vecteur quelconque de \(E\), \(p(g^{-1}(x))\) est dans \(F\) et donc par hypothèse \(h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}(x)\) est encore dans \(F\) (\(h^{-1}\) est dans \(G\) puisque \(G\) est un groupe). On en déduit que

\(h\circ p\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}=h\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}=g\circ p\circ g^{-1}\).

Mais alors

\(q^2=\frac{1}{n^2}\sum_{(g,h)\in G^2}^{}g\circ p\circ g^{-1}=\frac{1}{n^2}\times n\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}= q\)

et \(q\) est un projecteur.

Montrons que \(F\subset\text{Im}q\). Soit \(x\) un élément de \(F\). Pour chaque \(g\in G\), \(g^{-1}(x)\) est encore dans \(F\) et donc \(p(g^{-1}(x))=g^{-1}(x)\) puis \(g(p(g^{-1}(x)))=x\). Mais alors

\(q(x)=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}x=x\),

ou encore \(x\) est dans \(\text{Im}q\). On a montré que \(F\subset\text{Im}q\).

Montrons que \(\text{Im}q\subset F\). Soit \(x\) un élément de \(\text{Im}q\).

\[\begin{align*}\ensuremath p(x)&=p(q(x))=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}p\circ g\circ p\circ g^{-1}(x)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}(x)\;(\text{car}\;p\circ g^{-1}(x)\in F\;\text{et donc}\;g\circ p\circ g^{-1}(x)\in F)\\ &=q(x) = x, \end{align*}\]

et \(x\) est dans \(F\). On a montré que \(\text{Im}q\subset F\) et finalement que \(\text{Im}q=F\).

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