Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan de \(E\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(n-1\). Montrer que l’intersection de deux hyperplans de \(E\) a une dimension supérieure ou égale à \(n-2\). Montrer que, pour tout \(p\leq n\), l’intersection de \(p\) hyperplans a une dimension supérieure ou égale à \(n-p\).
Montrer que, pour tout \(n\in {\Nn}\) et pour tout \(y\in {\Rr}\), l’application \(e_{y}\) de \({\Rr}_n[X]\) à valeurs dans \({\Rr}\) définie en posant \(e_y(P(X))=P(y)\) ( i.e. l’application \(e_y\) est l’évaluation en \(y\)) est linéaire. Calculer la dimension de son noyau.
Même question avec l’application \(e'_{y}\) de \({\Rr}_n[X]\) à valeurs dans \({\Rr}\) définie en posant \(e'_y(P(X))=P'(y)\) (en désignant par \(P'\) le polynôme dérivé de \(P\)).
Démontrer, à l’aide de ces deux résultats, qu’il existe dans \({\Rr}_6[X]\) un polynôme \(P\) non nul et ayant les propriétés suivantes : \(P(0)=P(1)=P(2)=0\) et \(P'(4) =P'(5)=P'(6)=0 .\)