exo7 969

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$. Montrer que l’intersection de deux hyperplans de $E$ a une dimension supérieure ou égale à $n-2$. Montrer que, pour tout $p\leq n$, l’intersection de $p$ hyperplans a une dimension supérieure ou égale à $n-p$.

Montrer que, pour tout $n\in {\Nn}$ et pour tout $y\in {\Rr}$, l’application $e_{y}$ de ${\Rr}_n[X]$ à valeurs dans ${\Rr}$ définie en posant $e_y(P(X))=P(y)$ ( i.e. l’application $e_y$ est l’évaluation en $y$) est linéaire. Calculer la dimension de son noyau.

Même question avec l’application $e'_{y}$ de ${\Rr}_n[X]$ à valeurs dans ${\Rr}$ définie en posant $e'_y(P(X))=P'(y)$ (en désignant par $P'$ le polynôme dérivé de $P$).

Démontrer, à l’aide de ces deux résultats, qu’il existe dans ${\Rr}_6[X]$ un polynôme $P$ non nul et ayant les propriétés suivantes : $P(0)=P(1)=P(2)=0$ et $P'(4) =P'(5)=P'(6)=0 .$