exo7 2311

Décrire tous les éléments inversibles, tous les diviseurs de zéro et tous les éléments nilpotents de l’anneau $\Zz_{36}$. (Un élément $a$ d’un anneau $A$ est dit nilpotent si il existe $n$ tel que $a^n=0$.)

Trouver tous les idéaux de l’anneau $\Zz_{36}$.

Soit $A$ un anneau arbitraire. Montrer que $$(a\in A^{\times} \hbox{ et } b\in A^{\times}) \Longleftrightarrow (a\cdot b)\in A^{\times}.$$

Donner un exemple d’un polynôme inversible de degré $1$ sur $\Zz_{36}$.

Décrire tous les éléments inversibles de l’anneau $\Zz_{36}[x]$.