Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).
1
Décrire tous les éléments inversibles, tous les diviseurs de zéro et tous les éléments nilpotents de l’anneau \(\Zz_{36}\). (Un élément \(a\) d’un anneau \(A\) est dit nilpotent si il existe \(n\) tel que \(a^n=0\).)
2
Trouver tous les idéaux de l’anneau \(\Zz_{36}\).
3
Soit \(A\) un anneau arbitraire. Montrer que \[(a\in A^{\times} \hbox{ et } b\in A^{\times}) \Longleftrightarrow (a\cdot b)\in A^{\times}.\]
4
Donner un exemple d’un polynôme inversible de degré \(1\) sur \(\Zz_{36}\).
5
Décrire tous les éléments inversibles de l’anneau \(\Zz_{36}[x]\).