L1 Analyse Série numérique Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 2 questions

exo7 4455

Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs convergeant vers $0$ . On pose $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ .

Si la série $\sum u_n$ converge, que dire de la série $\sum \frac{u_n}{S_n}$ ?

Si la série $\sum u_n$ diverge, montrer que la série $\sum \frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. On pourra considérer $p_n = \prod_{k=1}^n \left(1-\frac{u_k}{S_k}\right)$ .