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Soient $\alpha \in \R$ et $\beta \in \R$ deux paramètres réels. On s’intéresse à la série $\displaystyle \sum_{n \geq 2} u_n$ avec $u_n = \frac{1}{n^\alpha \left(\ln(n)\right)^\beta}$ qui s’appelle une série de Bertrand. Sa convergence dépend des valeurs prises par $\alpha$ et $\beta$ .

Supposons que $\alpha >1$ ( $\beta$ est quelconque). On pose $\gamma = \frac{1+\alpha}{2}$ .

Vérifier que $\gamma < \alpha$ . Que peut-on dire de la série $\sum \frac{1}{n^\gamma}$ ?

Vérifier que $\lim\limits_{n \to +\infty} n^{\gamma} u_n = 0$ .

Conclure sur la convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n$ .

Supposons que $\alpha <1$ : calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} nu_n$ et conclure sur la convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n$ .

Supposons que $\alpha = 1$ et $\beta \leq 0$ .

Montrer qu’il existe un rang $N$ à partir duquel pour tout $n \geq N$ alors $\frac{1}{ \left(\ln(n)\right)^\beta} \geq 1$ .

Conclure sur la convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n$ .

Supposons que $\alpha = 1$ et $\beta > 0$ . Pour tout $x >1$ , On pose $f(x) = \frac{1}{x \ln(x)^\beta}$ de sorte que $u_n = f(n)$ pour tout $n \geq 2$ .

Vérifier que $f$ est positive et décroissante sur $]1+\infty[$ .

On considère l’intégrale $I = \int_2^{+\infty} f(t)dt$ En effectuant le changement de variable $u = \ln(t)$ , montrer que $I$ est une intégrale convergente si et seulement si $\beta >1$ .

Conclure sur la convergence de $\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n$ .

Séries de Bertrand

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