Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéresse à la série \(\displaystyle \sum_{n \geq 2} u_n\) avec \[u_n = \frac{1}{n^\alpha \left(\ln(n)\right)^\beta}\] qui s’appelle une série de Bertrand. Sa convergence dépend des valeurs prises par \(\alpha\) et \(\beta\).
Supposons que \(\alpha >1\) (\(\beta\) est quelconque). On pose \(\gamma = \frac{1+\alpha}{2}\).
Vérifier que \(\gamma < \alpha\). Que peut-on dire de la série \(\sum \frac{1}{n^\gamma}\) ?
Vérifier que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n^{\gamma} u_n = 0\).
Conclure sur la convergence de \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n\).
Supposons que \(\alpha <1\) : calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} nu_n\) et conclure sur la convergence de \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n\).
Supposons que \(\alpha = 1\) et \(\beta \leq 0\).
Montrer qu’il existe un rang \(N\) à partir duquel pour tout \(n \geq N\) alors \(\frac{1}{ \left(\ln(n)\right)^\beta} \geq 1\).
Conclure sur la convergence de \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n\).
Supposons que \(\alpha = 1\) et \(\beta > 0\). Pour tout \(x >1\), On pose \(f(x) = \frac{1}{x \ln(x)^\beta}\) de sorte que \(u_n = f(n)\) pour tout \(n \geq 2\).
Vérifier que \(f\) est positive et décroissante sur \(]1+\infty[\).
On considère l’intégrale \[I = \int_2^{+\infty} f(t)dt\] En effectuant le changement de variable \(u = \ln(t)\), montrer que \(I\) est une intégrale convergente si et seulement si \(\beta >1\).
Conclure sur la convergence de \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} u_n\).