Sur l’espace \(\R^n\), définir une distance \(d\), telle que \(\forall x,y \in \R^n\), on a \(d(x,y)\leq 1\). Est-il possible de choisir \(d\) de sorte que, en plus, \(x\mapsto \sqrt{d(x,0)}\) soit une norme ?
On considère l’ensemble \(S\) constitué des points de \(\R^3\) de norme euclidienne égale à 1 (“sphère unité”). Si \(x\), \(y\), sont deux éléments de \(S\), il existe au moins un cercle de rayon 1 tracé sur \(S\) et passant par ces points (dans quels cas en existe-t-il plusieurs ?) ; on note \(d(x,y)\) la longueur du plus court arc de ce cercle joignant \(x\) et \(y\) (“distance géodésique” — comparer avec la distance sur la sphère terrestre). Montrer que \(d\) est une distance sur \(S\) ; pourquoi \(x\mapsto \sqrt{d(x,0)}\) n’est-elle pas une norme ?