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Sur l’espace $\R^n$, définir une distance $d$, telle que $\forall x,y \in \R^n$, on a $d(x,y)\leq 1$. Est-il possible de choisir $d$ de sorte que, en plus, $x\mapsto \sqrt{d(x,0)}$ soit une norme ?

On considère l’ensemble $S$ constitué des points de $\R^3$ de norme euclidienne égale à 1 (“sphère unité”). Si $x$, $y$, sont deux éléments de $S$, il existe au moins un cercle de rayon 1 tracé sur $S$ et passant par ces points (dans quels cas en existe-t-il plusieurs ?) ; on note $d(x,y)$ la longueur du plus court arc de ce cercle joignant $x$ et $y$ (“distance géodésique” — comparer avec la distance sur la sphère terrestre). Montrer que $d$ est une distance sur $S$ ; pourquoi $x\mapsto \sqrt{d(x,0)}$ n’est-elle pas une norme ?