\({}^t\!AA\) est \(\R\)-diagonalisable donc annule un polynôme \(P\) scindé à racines simples. \(A\) annule le polynôme \(P(X^3)\), donc est \(\C\)-diagonalisable si \(0\) n’est pas racine de \(P\) ce que l’on peut imposer si \(A\) est inversible.

Si \(A\) n’est pas inversible, soit \(P(X) = XQ(X)\) avec \(Q(0)\ne 0\).

On a \(\R^n = \mathrm{Ker}(A^3)\oplus \mathrm{Ker}(Q(A^3))\) et \(\mathrm{Ker}(A^3) = \mathrm{Ker}({}^t\!AA) = \mathrm{Ker}(A)\) donc \(AQ(A^3)=0\) et \(A\) est encore \(\C\)-diagonalisable.

Contre-exemple pour la \(\R\)-diagonalisabilité : prendre une rotation d’angle \(2\pi/3\) dans le plan.

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