Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de \(E\) dans \(E\). Dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses :
1
Si \(e_1,e_2,\ldots,e_p\) est libre, il en est de même de \(u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)\).
2
Si \(u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)\) est libre, il en est de même de \(e_1,e_2,\ldots,e_p\).
3
Si \(e_1,e_2,\ldots,e_p\) est génératrice, il en est de même de \(u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)\).
4
Si \(u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)\) est génératrice, il en est de même de \(e_1,e_2,\ldots,e_p\).
5
Si \(u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)\) est une base de \(\Im u\), alors \(e_1,e_2,\ldots,e_p\) est une base d’un sous-espace vectoriel supplémentaire de \(\mathrm{Ker} u\).