1
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : \(\Bigl(1-\frac{x^2}n\Bigr)^n \le e^{-x^2}\) et pour \(x\) quelconque : \(e^{-x^2} \le \Bigl(1+\frac{x^2}n\Bigr)^{-n}\).
2
Calculer les intégrales \(I_n = \int_{t=0}^{\sqrt n} \Bigl(1-\frac{t^2}n\Bigr)^n\, d t\) et \(J_n = \int_{t=0}^{+\infty} \Bigl(1+\frac{t^2}n\Bigr)^{-n}\, d t\) en fonction des intégrales : \(K_p = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^pt\,d t\).
3
On admet que \(K_p \sim \sqrt{\frac\pi{2p}}\) quand \(p\to\infty\). Calculer \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t\).