On définit par récurrence les suites \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et \((v_n)_{n\in { \Nn}}\) par : \[u_0=1 , v_0=2 , u_{n+1}=\frac{ (u_n)^2}{ u_n+v_n} , v_{n+1}=\frac{ (v_n)^2}{ u_n+v_n} .\]
1
Montrer par récurrence que l’on a \(u_n>0\) et \(v_n>0 .\)
2
Montrer que les suites \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et \((v_n)_{n\in { \Nn}}\) décroissent. En déduire qu’elles convergent vers \(\ell\) et \(\ell '\) respectivement. Montrer que l’on a \(\ell \ell '=0 .\)
3
Montrer que la suite \((v_n-u_n)_{n\in { \Nn}}\) est constante. En déduire \(\ell\) et \(\ell ' .\)