Soit \(A\) une matrice carrée réelle d’ordre \(n\) non nulle et nilpotente.
1
Montrer que \(I-A\) n’est pas diagonalisable.
2
Généraliser en montrant que si \(B\) est une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont égales, alors \(B+A\) n’est pas diagonalisable.
3
Montrer qu’il existe \(A, B\) dans \({\mathcal M}_2(\R)\), \(A \neq 0\) nilpotente et \(B\) diagonalisable, telles que \(A+B\) soit diagonalisable.