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Soit $A$ une matrice carrée réelle d’ordre $n$ non nulle et nilpotente.

Montrer que $I-A$ n’est pas diagonalisable.

Généraliser en montrant que si $B$ est une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont égales, alors $B+A$ n’est pas diagonalisable.

Montrer qu’il existe $A, B$ dans ${\mathcal M}_2(\R)$ , $A \neq 0$ nilpotente et $B$ diagonalisable, telles que $A+B$ soit diagonalisable.