Sens \(\Leftarrow\). Soit \(M>0\) tel que \(\|B(x) \|\leq M \| x_1\| \| x_2\|\). Montrons que \(B\) en continue au point \(x=(x_1,x_2)\) fixé. Soit \(y=(y_1,y_2)\) alors \[B(x+y)-B(x)=B(x_1+y_1,x_2+y_2)-B(x_1,x_2)= B(x_1,y_2)+B(x_2,y_1)+B(y_1,y_2).\] Donc \[\|B(x+y)-B(x)\| \le M\| x_1\| \| y_2\|+M\| x_2\| \| y_1\|+M\| y_1\| \| y_2\|.\] Pour \(\|y_1\| \le \frac{\epsilon}{M\| x_1\|}\) on a \(M\| x_1\| \| y_2\| \le \epsilon\) (si \(x_1=0\) il n’y a rien à choisir ici). Pour \(\|y_2\| \le \frac{\epsilon}{M\| x_2\|}\) on a \(M\| x_2\| \| y_1\| \le \epsilon\) (si \(x_2=0\) il n’y a rien à choisir ici). Enfin pour \(\|y_1\|\le \sqrt {\frac \epsilon M}\) et \(\|y_2\|\le \sqrt {\frac \epsilon M}\) on a \(M\| y_1\| \| y_2\|\le \epsilon\). Donc en prenant \(\eta = \min (\frac{\epsilon}{M\| x_1\|},\frac{\epsilon}{M\| x_2\|},\sqrt {\frac \epsilon M})\), on obtient que pour \(\|y\| = \max (\|y_1\|,\|y_2\|) \le \eta\) on a \(\|B(x+y)-B(x)\| \le 3\epsilon\). Ce qui prouve la continuité. Donc \(B\) est continue sur \(E_1\times E_2\). Sens \(\Rightarrow\). Si \(B\) est continue partout, en particulier elle est continue en \(0\). Je choisis \(\epsilon =1\), il existe \(\eta >0\) tel que \(\|x\| \le \eta\) alors \(\|B(x)\|\le 1\). Donc pour \(\|x_1\|\le \eta\) et \(\|x_2\|\le \eta\) on a \(\|B(x_1,x_2)\|\le 1\). Soit maintenant \(y = (y_1,y_2) \in E_1\times E_2\), (\(y_1\neq 0, y_2\neq 0\)) on a \((\eta \frac{y_1}{\| y_1 \|},\eta \frac{y_2}{\| y_2 \|})\) de norme \(\le \eta\) donc \(B(\eta \frac{y_1}{\| y_1 \|},\eta \frac{y_2}{\| y_2 \|}) \le 1\) et par bilinéarité cela fournit : \(B(y_1,y_2)\le \frac{1}{\eta^2}{\| y_1 \|}{\| y_2 \|}\), et ce pour tout \((y_1,y_2)\). La constante cherchée étant \(\frac 1{\eta^2}\).

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