Sens $\Leftarrow$ . Soit $M>0$ tel que $\|B(x) \|\leq M \| x_1\| \| x_2\|$ . Montrons que $B$ en continue au point $x=(x_1,x_2)$ fixé. Soit $y=(y_1,y_2)$ alors $B(x+y)-B(x)=B(x_1+y_1,x_2+y_2)-B(x_1,x_2)= B(x_1,y_2)+B(x_2,y_1)+B(y_1,y_2).$ Donc $\|B(x+y)-B(x)\| \le M\| x_1\| \| y_2\|+M\| x_2\| \| y_1\|+M\| y_1\| \| y_2\|.$ Pour $\|y_1\| \le \frac{\epsilon}{M\| x_1\|}$ on a $M\| x_1\| \| y_2\| \le \epsilon$ (si $x_1=0$ il n’y a rien à choisir ici). Pour $\|y_2\| \le \frac{\epsilon}{M\| x_2\|}$ on a $M\| x_2\| \| y_1\| \le \epsilon$ (si $x_2=0$ il n’y a rien à choisir ici). Enfin pour $\|y_1\|\le \sqrt {\frac \epsilon M}$ et $\|y_2\|\le \sqrt {\frac \epsilon M}$ on a $M\| y_1\| \| y_2\|\le \epsilon$ . Donc en prenant $\eta = \min (\frac{\epsilon}{M\| x_1\|},\frac{\epsilon}{M\| x_2\|},\sqrt {\frac \epsilon M})$ , on obtient que pour $\|y\| = \max (\|y_1\|,\|y_2\|) \le \eta$ on a $\|B(x+y)-B(x)\| \le 3\epsilon$ . Ce qui prouve la continuité. Donc $B$ est continue sur $E_1\times E_2$ . Sens $\Rightarrow$ . Si $B$ est continue partout, en particulier elle est continue en $0$ . Je choisis $\epsilon =1$ , il existe $\eta >0$ tel que $\|x\| \le \eta$ alors $\|B(x)\|\le 1$ . Donc pour $\|x_1\|\le \eta$ et $\|x_2\|\le \eta$ on a $\|B(x_1,x_2)\|\le 1$ . Soit maintenant $y = (y_1,y_2) \in E_1\times E_2$ , ( $y_1\neq 0, y_2\neq 0$ ) on a $(\eta \frac{y_1}{\| y_1 \|},\eta \frac{y_2}{\| y_2 \|})$ de norme $\le \eta$ donc $B(\eta \frac{y_1}{\| y_1 \|},\eta \frac{y_2}{\| y_2 \|}) \le 1$ et par bilinéarité cela fournit : $B(y_1,y_2)\le \frac{1}{\eta^2}{\| y_1 \|}{\| y_2 \|}$ , et ce pour tout $(y_1,y_2)$ . La constante cherchée étant $\frac 1{\eta^2}$ .

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