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Déterminer le volume $V(r,h)$ d’un cylindre plein de hauteur $h$ et de rayon $r$.

Déterminer l’aire $A(r,h)$ d’une casserole de hauteur $h$ et de rayon $r$.

Montrer que le sous-ensemble de $\Rr^3$ avec coordonnées $(r,h,v)$ d’équation $1=V(r,h)$ est une surface régulière.

Déterminer le gradient de la fonction $\alpha : (r,h,v)\mapsto A(r,h)$ et celui de la fonction $\nu :(r,h,v)\mapsto V(r,h)-1$

Soit $(r_0,h_0,v_0)$ un minimum de la fonction $\alpha$ sur la surface d’équation $1=V(r,h)$. Comparer $grad _{(r_0,h_0,v_0)}\alpha$ et $grad _{(r_0,h_0,v_0)}\nu$.

Déterminer le minimum de $A(r,h)$ sur la surface d’équation $V(r,h)=1$. Interpréter ce résultat.