Dans tout l’exercice, \(r\) et \(h\) parcourent \(]0,+\infty[\).
Déterminer le volume \(V(r,h)\) d’un cylindre plein de hauteur \(h\) et de rayon \(r\).
Déterminer l’aire \(A(r,h)\) d’une casserole de hauteur \(h\) et de rayon \(r\).
Montrer que le sous-ensemble de \(\Rr^3\) avec coordonnées \((r,h,v)\) d’équation \(1=V(r,h)\) est une surface régulière.
Déterminer le gradient de la fonction \(\alpha : (r,h,v)\mapsto A(r,h)\) et celui de la fonction \(\nu :(r,h,v)\mapsto V(r,h)-1\)
Soit \((r_0,h_0,v_0)\) un minimum de la fonction \(\alpha\) sur la surface d’équation \(1=V(r,h)\). Comparer \(grad _{(r_0,h_0,v_0)}\alpha\) et \(grad _{(r_0,h_0,v_0)}\nu\).
Déterminer le minimum de \(A(r,h)\) sur la surface d’équation \(V(r,h)=1\). Interpréter ce résultat.