L’application \(\Phi\) est une bijection : son inverse est \(\Phi\) elle-même.

Supposons que \(E\) soit un ensemble fini. Notre bijection \(\Phi\) envoie un ensemble \(\mathcal{Q} \subset \mathcal{P}(E)\) sur un ensemble de même cardinal.

Choisissons \(E\) un ensemble à \(n\) éléments, et soit \(p\le n\). Soit \(\mathcal{Q} \subset \mathcal{P}(E)\) : \[\mathcal{Q} = \left\lbrace F \subset E,\ \ \mathrm{Card} F = p \right\rbrace.\]

Nous savons que \(\mathrm{Card} \mathcal{Q} =C_n^p\) (c’est la définition de \(C^p_n\)). De plus \[\begin{align*} \Phi(\mathcal{Q}) &= \left\lbrace \Phi(F),\ \ F \subset E,\ \ \mathrm{Card} F = p \right\rbrace \\ &= \left\lbrace \complement F,\ \ F \subset E,\ \ \mathrm{Card} F = p \right\rbrace \\ &= \left\lbrace G\subset E,\ \ \mathrm{Card} G = n-p \right\rbrace. \end{align*}\]

Donc \(\mathrm{Card} \Phi(\mathcal{Q}) = C_n^{n-p}\). Et comme \(\Phi\) est une bijection, \(\mathrm{Card} \Phi(\mathcal{Q}) = \mathrm{Card} (\mathcal{Q})\), donc \(C_n^{n-p}=C_n^p\).

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