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L’histoire: $n$ personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas formé par tous les présents apportés. Quelle est la probabilité qu’au moins une personne reparte avec son cadeau? Que devient cette probabilité quand le nombre de personnes devient très grand, i.e.: $n\rightarrow \infty$? (On remarquera que l’intuition met en évidence deux effets contradictoires: plus de personnes c’est plus de proba qu’une personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c’est aussi plus de cadeaux, donc une proportion plus élevée de cadeaux “acceptables”).

Soit $S_n = \sigma (\left\{ 1, \ldots, n\right\})$. On dit que $\sigma \in S_n$ est un dérangement si $\forall i \in \left\{ 1, \ldots, n\right\} \, \, \sigma (i) \neq i$. On note $A_i = \left\{ \sigma \in S_n / \sigma (i) = i\right\}$ et $D_n$ l’ensemble des dérangements.