On note respectivement \(x\), \(y\) et \(z\) le nombre de pièces de \(10\), \(20\) et \(50\) centimes. Il s’agit de résoudre dans \(\Nn^3\) l’équation \(10x+20y+50z=10000\) ou encore \(x+2y+5z=1000\).

Soit \(k\in\Nn\). \(x+2y=k\Leftrightarrow x=k-2y\) et le nombre de solutions de cette équation est :

\[\sum_{k=0}^{E(k/2)}1=E(\frac{k}{2})+1.\]

Pour \(0\leq z\leq 200\) donné, le nombre de solutions de l’équation \(x+2y=1000-5z\) est donc \(E(\frac{1000-5z}{2})+1\). Le nombre de solutions en nombres entiers de l’équation \(x+2y+5z=1000\) est donc

\[\sum_{z=0}^{200}(E(\frac{1000-5z}{2})+1)=\sum_{z=0}^{200}(E(\frac{-5z}{2})+ 501)=201.501+\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2})=100701+\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2}).\] Maintenant

\[\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2})=\sum_{k=1}^{100}(E(\frac{-5(2k-1)}{2})+E(\frac{-5(2k)}{2}))=\sum_{k=1}^{100}(E(-5k+\frac{5}{2})-5k)=\sum_{k=1}^{100}(-10k+2)=200-10\frac{100.101}{2}.\]

Le nombre de solutions cherchés est donc \(100701-50300=50401\). Il y a \(50401\) façons de payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), \(20\) et \(50\) centimes.

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