On note respectivement $x$ , $y$ et $z$ le nombre de pièces de $10$ , $20$ et $50$ centimes. Il s’agit de résoudre dans $\Nn^3$ l’équation $10x+20y+50z=10000$ ou encore $x+2y+5z=1000$ .

Soit $k\in\Nn$ . $x+2y=k\Leftrightarrow x=k-2y$ et le nombre de solutions de cette équation est :

$\sum_{k=0}^{E(k/2)}1=E(\frac{k}{2})+1.$

Pour $0\leq z\leq 200$ donné, le nombre de solutions de l’équation $x+2y=1000-5z$ est donc $E(\frac{1000-5z}{2})+1$ . Le nombre de solutions en nombres entiers de l’équation $x+2y+5z=1000$ est donc

$\begin{align*} \sum_{z=0}^{200}(E(\frac{1000-5z}{2})+1) &= \sum_{z=0}^{200}(E(\frac{-5z}{2})+ 501) \\ &= 201.501+\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2}) \\ &= 100701+\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2}). \end{align*}$ Maintenant

$\begin{align*} \sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2}) &= \sum_{k=1}^{100}(E(\frac{-5(2k-1)}{2})+E(\frac{-5(2k)}{2})) \\ &= \sum_{k=1}^{100}(E(-5k+\frac{5}{2})-5k) \\ &= \sum_{k=1}^{100}(-10k+2) \\ &= 200-10\frac{100.101}{2}. \end{align*}$

Le nombre de solutions cherchés est donc $100701-50300=50401$ . Il y a $50401$ façons de payer $100$ euros avec des pièces de $10$ , $20$ et $50$ centimes.

exo7 5285