$(X-\frac{a}{b})|P$ donc $\exists Q\in\Qq[x], \, P=(x-\frac{a}{b})Q=(bx-a)\frac{Q}{b}$ . En réduisant tous les coefficients de $P\in \Zz[x]$ au même dénominateur, on peut mettre $Q$ sous la forme : $Q=\frac{1}{m}Q_{1}$ , avec $Q_{1}\in\Zz[X]$ primitif. Alors $bdP=(bx-a)Q_{1}$ . En considérant les contenus de ces polynômes, on a $c(bx-a)=\pgcd(a,b)=1$ , $c(Q_{1})=1$ donc $c(bdP)=bd\,c(P)=1$ . Ainsi $bd=\pm1$ , et $(bx-a)|P$ . On considère par exemple les cas $k=0,\dots,3$ . (Pour $k=2$ , on constate que $P(2)=0$ : on peut diviser $P$ par $(X-2)$ et déterminer les trois racines complexes de $P$ ...). On obtient que $\begin{align*} (*)&&\qquad a&|14 &\quad (k=0), \\ (**)&&\qquad (a-b)&|4 &\quad (k=1), \\ (***)&&\qquad (a-3b)&|2^{3}5 &\quad (k=3). \\ \end{align*}$ Au passage On peut remarquer que si $\alpha\leq0$ , $P(\alpha)<0$ , donc on peut supposer $a>0$ et $b>0$ .

Si $a=1$ : $(**)\Rightarrow b\in\{2,3,5\}$ . Aucune de ces possibilités n’est compatible avec $(***)$ .
Si $a=2$ : $(**)\Rightarrow b\in\{1,3,4,6\}$ . Comme $\pgcd(a,b)=1$ , $4$ et $6$ sont exclus. $3$ n’est pas compatible avec $(***)$ . Pour $2$ , on vérifie que $P(2)=0$ .
Si $a=7$ : $(**)\Rightarrow b\in\{3,5,9,11\}$ . Mais aucune de ces solution ne convient.
Si $a=14$ : $(**)\Rightarrow b\in\{10,12,16,18\}$ mais $\pgcd(a,b)=1$ exclu toutes ces possibilités.

Finalement, $2$ est la seule racine rationnelle de $P$ .

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