\((X-\frac{a}{b})|P\) donc \(\exists Q\in\Qq[x], \, P=(x-\frac{a}{b})Q=(bx-a)\frac{Q}{b}\). En réduisant tous les coefficients de \(Q\) au même dénominateur, on peut mettre \(Q\) sous la forme : \(Q=\frac{1}{m}Q_{1}\), avec \(Q_{1}\in\Zz[X]\) primitif. Alors \(bdP=(bx-a)Q_{1}\). En considérant les contenus de ces polynômes, on a \(c(bx-a)=\pgcd(a,b)=1\), \(c(Q_{1})=1\) donc \(c(bdP)=bd\,c(P)=1\). Ainsi \(bd=\pm1\), et \((bx-a)|P\). On considère par exemple les cas \(k=0,\dots,3\). (Pour \(k=2\), on constate que \(P(2)=0\) : on peut diviser \(P\) par \((X-2)\) et déterminer les trois racines complexes de \(P\)...). On obtient que \[\begin{align*} (*)&&\qquad a&|14 &\quad (k=0), \\ (**)&&\qquad (a-b)&|4 &\quad (k=1), \\ (***)&&\qquad (a-3b)&|2^{3}5 &\quad (k=3). \\ \end{align*}\] Au passage On peut remarquer que si \(\alpha\leq0\), \(P(\alpha)<0\), donc on peut supposer \(a>0\) et \(b>0\).

Si \(a=1\) : \((**)\Rightarrow b\in\{2,3,5\}\). Aucune de ces possibilités n’est compatible avec \((***)\). Si \(a=2\) : \((**)\Rightarrow b\in\{1,3,4,6\}\). Comme \(\pgcd(a,b)=1\), \(4\)et \(6\) sont exclus. \(3\) n’est pas compatible avec \((***)\). Pour \(2\), on vérifie que \(P(2)=0\). Si \(a=7\) : \((**)\Rightarrow b\in\{3,5,9,11\}\). Mais aucune de ces solution ne convient. Si \(a=14\) : \((**)\Rightarrow b\in\{10,12,16,18\}\) mais \(\pgcd(a,b)=1\) exclu toutes ces possibilités.

Finalement, \(2\) est la seule racine rationnelle de \(P\).

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