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Soit $f\in \Zz[x]$. Considérons la reduction du polynôme $f$ modulo $m$ : $f\mod m\in \Zz_m[x]$. Montrer que $$\Zz[x]/(m,f)\cong \Zz_m[x]/(f\hbox{\ mod } m)$$ où $(m,f)$ est l’idéal engendré par $m$ et $f$ dans $\Zz[x]$ et $(f\hbox{\ mod } m)$ est l’idéal engendré par $f\mod m$ dans $\Zz_m[x]$. (Indication : Utiliser l’exercice 10 de fiche 4.)

Si $p$ est un nombre premier et $f$ est un polynôme tel que $f\mod p$ est irréductible sur le corps $\Zz_p$, alors l’idéal $(p,f)$ est maximal dans $\Zz[x]$.