1
Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo \(m\) : \(f\mod m\in \Zz_m[x]\). Montrer que \[\Zz[x]/(m,f)\cong \Zz_m[x]/(f\hbox{\ mod } m)\] où \((m,f)\) est l’idéal engendré par \(m\) et \(f\) dans \(\Zz[x]\) et \((f\hbox{\ mod } m)\) est l’idéal engendré par \(f\mod m\) dans \(\Zz_m[x]\). (Indication : Utiliser l’exercice 10 de fiche 4.)
2
Si \(p\) est un nombre premier et \(f\) est un polynôme tel que \(f\mod p\) est irréductible sur le corps \(\Zz_p\), alors l’idéal \((p,f)\) est maximal dans \(\Zz[x]\).