$I=(5,x^{2}+3)$ . On a $\pgcd(5, x^{2}+3)=1$ , donc si $I$ était principal, on aurait $1\in I$ , et donc $I=\Zz[X]$ . Si $1\in I$ , il existe $P,Q\in\Zz[x]$ , tels que $1=5P+(x^{2}+3)Q$ . En considérant la réduction modulo $5$ de ces polynômes, on obtient $(x^{2}+\bar{3})\bar{Q}=\bar{1}$ , ce qui est impossible pour des raisons de degré ( $\Zz/5\Zz$ est intègre). Donc $1\notin I$ , et $I$ n’est donc pas intègre.

$x^{2}+1=(x+2)(x-2)+5$ , donc $(x^{2}+1,x+2)=(x+2,5)$ . Or $(x+2,5)$ n’est pas principal pour les mêmes raisons que précédemment.

On a $(x-1)=(x^{4}-1)-x(x^{3}-1)$ donc $(x-1)\subset (x^{4}-1,x^{3}-1)$ . Par ailleurs, $(x-1)|(x^{4}-1)$ et $(x-1)|(x^{3}-1)$ donc $x^{4}-1\in(x-1)$ et $x^{3}-1\in(x-1)$ , donc $(x^{4}-1,x^{3}-1)\subset (x-1)$ . Donc $(x^{4}-1,x^{3}-1)$ est principal.

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