On raisonne comme pour l’exercice [exoprec]. Soit \(P=X^{5}-6X^{3}+2X^{2}-4X+5\), \(A,B\) deux polynômes tels que \(P=AB\). En considérant la réduction modulo \(2\), on a \(\bar{P}=X^{5}+1\) donc la décomposition en facteurs irréductibles est \(\bar{P}=(X+1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\). Comme \(P\) est unitaire, \(A\) et \(B\) le sont aussi, et la réduction modulo \(2\) préserve donc le degré de \(A\) et \(B\). On en déduit que si \(\bar{A}=X+1\), alors \(A\) est de degré 1.

La réduction modulo \(3\) de \(P\) devrait donc avoir une racine. Mais \(P\mod 3=X^{5}-X^{2}-X-1\) n’a pas de racine dans \(\Zz/3\Zz\). On en déduit que dans la réduction modulo \(2\), la factorisation \(\bar{P}=`\bar{A}\bar{B}\) est triviale (\(\bar{A}=1\) et \(\bar{B}=\bar{P}\) ou le contraire), puis que la factorisation \(P=AB\) elle même est triviale (\(A=\pm1\) et \(B=\mp P\) ou le contraire). Ainsi, \(P\) est irréductible dans \(\Zz[X]\).

Pour \(P=7X^{4}+8X^{3}+11X^{2}-24X-455\), on procède de la même façon. Si \(P=AB\), comme \(7\) est premier, l’un des polynômes \(A\) ou \(B\) a pour coefficient dominant \(\pm7\) et l’autre \(\mp1\). On en déduit que les réductions modulo \(2\) ou \(3\) préservent le degré de \(A\) et de \(B\). Les décompositions en facteurs irréductibles sont les suivantes: \(P\mod 2=(X^{2}+X+1)^{2}\) et \(P\mod3=(X-1)(X^{3}-X-1)\). Si la factorisation \(P=AB\) est non triviale, alors les réductions modulo \(2\) de \(A\) et \(B\) sont de degré \(2\), et donc \(\deg(A)=\deg(B)=2\). Mais la décomposition modulo \(3\) impose que ces degrés soient \(1\) et \(3\). La factorisation \(P=AB\) est donc nécessairement triviale, et \(P\) est donc irréductible.

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