On raisonne comme pour l’exercice [exoprec]. Soit $P=X^{5}-6X^{3}+2X^{2}-4X+5$ , $A,B$ deux polynômes tels que $P=AB$ . En considérant la réduction modulo $2$ , on a $\bar{P}=X^{5}+1$ donc la décomposition en facteurs irréductibles est $\bar{P}=(X+1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$ . Comme $P$ est unitaire, $A$ et $B$ le sont aussi, et la réduction modulo $2$ préserve donc le degré de $A$ et $B$ . On en déduit que si $\bar{A}=X+1$ , alors $A$ est de degré 1.

La réduction modulo $3$ de $P$ devrait donc avoir une racine. Mais $P\mod 3=X^{5}-X^{2}-X-1$ n’a pas de racine dans $\Zz/3\Zz$ . On en déduit que dans la réduction modulo $2$ , la factorisation $\bar{P}=`\bar{A}\bar{B}$ est triviale ( $\bar{A}=1$ et $\bar{B}=\bar{P}$ ou le contraire), puis que la factorisation $P=AB$ elle même est triviale ( $A=\pm1$ et $B=\mp P$ ou le contraire). Ainsi, $P$ est irréductible dans $\Zz[X]$ .

Pour $P=7X^{4}+8X^{3}+11X^{2}-24X-455$ , on procède de la même façon. Si $P=AB$ , comme $7$ est premier, l’un des polynômes $A$ ou $B$ a pour coefficient dominant $\pm7$ et l’autre $\mp1$ . On en déduit que les réductions modulo $2$ ou $3$ préservent le degré de $A$ et de $B$ . Les décompositions en facteurs irréductibles sont les suivantes: $P\mod 2=(X^{2}+X+1)^{2}$ et $P\mod3=(X-1)(X^{3}-X-1)$ . Si la factorisation $P=AB$ est non triviale, alors les réductions modulo $2$ de $A$ et $B$ sont de degré $2$ , et donc $\deg(A)=\deg(B)=2$ . Mais la décomposition modulo $3$ impose que ces degrés soient $1$ et $3$ . La factorisation $P=AB$ est donc nécessairement triviale, et $P$ est donc irréductible.

exo7 2267