Si \(A[X]\) est principal, soit \(a\in A\setminus\{0\}\), et \(I=(X,a)\). \(A[X]\) étant principal, \(\exists P_0\in A[X], I=(P_0)\). Alors \(P_0|a\) donc \(P_0\in A\), et \(P_0|X\) donc \(P_0|1\) et \(P_0\) est inversible. On en déduit que \(I=A[X]\). En particulier \(1\in I\): \(\exists U,V\in A[X], XU+aV=1\). Le terme constant de \(XU+aV\) est multiple de \(a\) et vaut \(1\). \(a\) est donc inversible.

Si \(A\) est un corps, on dispose de la division euclidienne. Soit \(I\) un idéal de \(A[X]\). Soit \(P_0\) un élément de \(I\setminus\{0\}\) de degré minimal. Soit \(P\in I\). \(\exists!(Q,R)\in A[X]^2, P=P_0Q+R\) et \(\deg(R)<\deg(P)\). Comme \(R=P-P_0Q\), on a \(R\in I\), et comme \(\deg(R)<\deg(P_0)\), on a \(R=0\). Ainsi \(P\in(P_0)\). On a donc \(I\subset(P_0)\subset I\).

exo7 2262