Si $A[X]$ est principal, soit $a\in A\setminus\{0\}$ , et $I=(X,a)$ . $A[X]$ étant principal, $\exists P_0\in A[X], I=(P_0)$ . Alors $P_0|a$ donc $P_0\in A$ , et $P_0|X$ donc $P_0|1$ et $P_0$ est inversible. On en déduit que $I=A[X]$ . En particulier $1\in I$ : $\exists U,V\in A[X], XU+aV=1$ . Le terme constant de $XU+aV$ est multiple de $a$ et vaut $1$ . $a$ est donc inversible.

Si $A$ est un corps, on dispose de la division euclidienne. Soit $I$ un idéal de $A[X]$ . Soit $P_0$ un élément de $I\setminus\{0\}$ de degré minimal. Soit $P\in I$ . $\exists!(Q,R)\in A[X]^2, P=P_0Q+R$ et $\deg(R)<\deg(P)$ . Comme $R=P-P_0Q$ , on a $R\in I$ , et comme $\deg(R)<\deg(P_0)$ , on a $R=0$ . Ainsi $P\in(P_0)$ . On a donc $I\subset(P_0)\subset I$ .

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