Il y a dérivation terme à terme facilement et indéfiniment.

DSE au voisinage de $0$ : on envisage de permuter les $\Sigma$ dans : $f_\alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty\sum_{p=0}^\infty e^{-n^\alpha}\frac{(inx)^p}{p!}$ , ce qui est légitime si la série $\sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha}e^{n|x|}$ converge. On en déduit qu’une condition suffisante pour que $f$ soit DSE au voisinage de $0$ est $\alpha \ge 1$ (avec convergence si $x\in{]-1,1[}$ pour $\alpha = 1$ et pour tout $x\in\R$ si $\alpha > 1$ ).

Cas $\alpha < 1$ : $|f^{(k)}(0)| = \sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha}n^k \ge e^{-N^\alpha}N^k$ avec $N=\lfloor k^{1/\alpha}\rfloor$ donc pour $r>0$ fixé et $k$ tendant vers l’infini on a $\ln\Bigl(\Bigl|\frac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}\Bigr|\Bigr) \sim \Bigl(\frac1\alpha-1\Bigr)k\ln(k)$ et la série de terme général $\frac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}$ diverge grossièrement.

DSE au voisinage de $a\ne 0$ : même raisonnement en écrivant $f(x) = \sum_{n=1}^\infty\sum_{p=0}^\infty e^{-n^\alpha}e^{ina}\frac{(in(x-a))^p}{p!}$ . En conclusion, $f$ est analytique sur $\R$ si et seulement si $\alpha\ge 1$ .

exo7 4591