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Démontrer que la famille $(U_p)_{p \in \N}$ est une base de ${ K[X]}$.

Calculer $\Delta^n(U_p)$.

En déduire que : $\forall\ P \in { K_n[X]}$, ona $P = P(0) + (\Delta P)(0)U_1 + (\Delta^2 P)(0)U_2 + \dots + (\Delta^n P)(0)U_n$.

Soit $P \in { K[X]}$. Démontrer que :

$\bigl( \forall\ n \in \Z$, on a $P(n) \in \Z \bigr) \Leftrightarrow \bigl($ les coordonnées de $P$ dans la base $(U_p)$ sont entières$\bigr)$.

Soit $f : \Z \to \Z$ une fonction quelconque. Démontrer que $f$ est polynomiale si et seulement si : $\exists\ n \in \N$ tq $\Delta^n(f) = 0$.