[opdiff] On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et \(\Delta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P(X)}\)
1
Démontrer que la famille \((U_p)_{p \in \N}\) est une base de \({ K[X]}\).
2
Calculer \(\Delta^n(U_p)\).
3
En déduire que : \(\forall\ P \in { K_n[X]}\), ona \(P = P(0) + (\Delta P)(0)U_1 + (\Delta^2 P)(0)U_2 + \dots + (\Delta^n P)(0)U_n\).
4
Soit \(P \in { K[X]}\). Démontrer que :
\(\bigl( \forall\ n \in \Z\), on a \(P(n) \in \Z \bigr) \Leftrightarrow \bigl(\) les coordonnées de \(P\) dans la base \((U_p)\) sont entières\(\bigr)\).
5
Soit \(f : \Z \to \Z\) une fonction quelconque. Démontrer que \(f\) est polynomiale si et seulement si : \(\exists\ n \in \N\) tq \(\Delta^n(f) = 0\).