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Donner le degré de $L_{n}$, son coefficient dominant, sa parité, calculer $L_{n}(1).$ Donner $L_{0},L_{1},L_{2}.$

Démontrer : $\forall n\geq 1,(X^{2}-1)W_{n}^{^{\prime }}=2nXW_{n},$ en déduire : $$\forall n\in \Nn,(X^{2}-1)L_{n}^{^{\prime \prime }}+ 2XL_{n}^{^{\prime}}-n(n+1)L_{n}=0.$$

Montrer ensuite : $\forall n\geq 1,L_{n}^{\prime }=XL_{n-1}^{^{\prime }}+nL_{n-1},$ puis $nL_{n}=XL_{n}^{^{\prime }}-L_{n-1}^{^{\prime }}.$

Montrer enfin que les polynômes $L_{n}$ peuvent être définis par la récurrence : $$(n+1)L_{n+1}=(2n+1)XL_{n}-nL_{n-1}.$$