Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)
1
Donner le degré de \(L_{n}\), son coefficient dominant, sa parité, calculer \(L_{n}(1).\) Donner \(L_{0},L_{1},L_{2}.\)
2
Démontrer : \(\forall n\geq 1,(X^{2}-1)W_{n}^{^{\prime }}=2nXW_{n},\) en déduire : \[\forall n\in \Nn,(X^{2}-1)L_{n}^{^{\prime \prime }}+ 2XL_{n}^{^{\prime}}-n(n+1)L_{n}=0.\]
3
Montrer ensuite : \(\forall n\geq 1,L_{n}^{\prime }=XL_{n-1}^{^{\prime }}+nL_{n-1},\) puis \(nL_{n}=XL_{n}^{^{\prime }}-L_{n-1}^{^{\prime }}.\)
4
Montrer enfin que les polynômes \(L_{n}\) peuvent être définis par la récurrence : \[(n+1)L_{n+1}=(2n+1)XL_{n}-nL_{n-1}.\]