Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Soit \(\varphi \in \mathcal{L} (E)\) un endomorphisme antisymétrique c’est-à-dire tel que \(\varphi ^*=-\varphi .\)
Montrer que si \(\lambda \in Sp(\varphi )\) alors \(\lambda =0 .\) Montrer que \((\hbox{Ker}(\varphi ))^\perp\) est stable par \(\varphi .\)
Montrer que \(\varphi ^2\) est symétrique.
Montrer que si \(x\) est un vecteur propre associé à une valeur propre \(\mu\) de \(\varphi ^2\) alors \(E_x= \hbox{vect}\{ x, \varphi (x)\}\) et \(E_x ^\perp\) sont laissés stables par \(\varphi .\)
Montrer que \(\mu >0 .\) Déterminer une base \(\{ e_1,e_2\}\) de \(E_x\) telle que la matrice de la restriction de \(\varphi\) \(E_x\) dans \(\{ e_1,e_2\}\) soit \(\begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{\mu } \cr \sqrt{\mu } & 0 \cr \end{pmatrix}.\)