exo7 1542

Montrer que si $\lambda \in Sp(\varphi )$ alors $\lambda =0 .$ Montrer que $(\hbox{Ker}(\varphi ))^\perp$ est stable par $\varphi .$

Montrer que $\varphi ^2$ est symétrique.

Montrer que si $x$ est un vecteur propre associé à une valeur propre $\mu$ de $\varphi ^2$ alors $E_x= \hbox{vect}\{ x, \varphi (x)\}$ et $E_x ^\perp$ sont laissés stables par $\varphi .$

Montrer que $\mu >0 .$ Déterminer une base $\{ e_1,e_2\}$ de $E_x$ telle que la matrice de la restriction de $\varphi$ ˆ $E_x$ dans $\{ e_1,e_2\}$ soit $\begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{\mu } \cr \sqrt{\mu } & 0 \cr \end{pmatrix}.$