Soit \(y : \R \to \R\) une solution non identiquement nulle de \(y'' + e^t y = 0\).
1
Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est infini dénombrable.
2
On note \(a_n\) le \(n\)ème zéro positif de \(y\). En utilisant les fonctions \(\begin{cases} \varphi(t) = \sin\Bigl(e^{a_n/2}(t-a_n)\Bigr) \cr \psi(t) = \sin\Bigl(e^{a_{n+1}/2}(t-a_n)\Bigr),\cr\end{cases}\) montrer que \(\frac\pi{e^{a_{n+1}/2}} \le a_{n+1}-a_n \le \frac\pi{e^{a_n/2}}\).
3
Donner un équivalent de \(a_n\) quand \(n\to\infty\).