Considérons l’anneau \(\Z[i\sqrt{3}]\), le sous-anneaux de \(\C\) engendré par \(i\sqrt{3}\).
Montrer que \(\Z[i\sqrt{3}]:=\{a+bi\sqrt{3}, \ (a,b)\in\Z^2\}.\)
À tout élément \(x=a+bi\sqrt{3}\) de \(\mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\) on associe son conjugué \(\overline x=a-bi\sqrt{3}\). Montrer que pour tous \(x,y \in \mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\) on a \[\overline{x+y}=\overline x + \overline y \textrm{ ~ et ~ } \overline{xy}=\overline x \overline y.\]
En considérant l’application \(N : \mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\to \mathbf{Z}, x \mapsto x\overline x\), montrer que les éléments inversibles de \(\mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\) sont exactement les éléments de norme \(1\). Donner la liste des éléments inversibles.
Quelles sont les normes possibles d’un diviseur de \(1+i\sqrt{3}\) dans \(\mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\) ?
Montrer que éléments \(2\), \(1+i\sqrt{3}\) sont premiers entre eux dans \(\mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\). Peut-on leur écrire un couple de Bézout ?
Donner deux factorisations différentes de \(4\) dans \(\mathbf{Z}[i\sqrt{3}]\). Le lemme d’Euclide est-il valide dans l’anneau \(\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]\) ?