Les éléments de $A_n$ sont les produits pairs de transpositions. Il suffit donc de vérifier qu’un produit de deux transpositions est un produit de cycles de longueur $3$ .

Soient $i$ , $j$ et $k$ trois éléments deux à deux distincts de $\{1,...,n\}$ . $\tau_{i,k}\circ\tau_{i,j}$ est le $3$ -cycle : $i\rightarrow j$ $j\rightarrow k$ $k\rightarrow i$ , ce qui montre qu’un $3$ -cycle est pair et que le produit de deux transpositions dont les supports ont en commun un singleton est un $3$ -cycle.

Le cas $\tau_{i,j}\circ\tau_{i,j}=Id=(2 3 1)(3 1 2)$ est immédiat. Il reste à étudier le produit de deux transpositions à supports disjoints.

Soient $i$ , $j$ , $k$ et $l$ quatre éléments de deux à deux distincts de $\{1,...,n\}$ .

$\tau_{i,j}\circ\tau_{k,l}=(j i k l)(i j l k)=(j i l k)=(j k i l)(l j i k).$

Donc, $\tau_{i,j}\circ\tau_{k,l}$ est un bien un produit de $3$ -cycles ce qui achève la démonstration.

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