On définit une permutation \(\sigma\) de l’ensemble \(\{1, 2, \dots, 15\}\) par la suite finie des entiers \(\sigma(1)\), \(\sigma(2), \dots, \sigma(15)\). Par exemple \[\sigma_1 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 2 & 7 & 1 & 14 & 3 & 12 & 8 & 9 & 6 & 15 & 13 & 4 & 10 & 5 & 11 \end{array} \right)\] signifie \(\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 7\), etc…Soient \[\sigma_2 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 7 & 6 & 5 & 8 & 9 & 3 & 2 & 15 & 4 & 11 & 13 & 10 & 12 & 14 & 1 \end{array} \right)\] \[\sigma_3 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 1 & 15 & 2 & 14 & 3 & 13 & 4 & 12 & 5 & 11 & 6 & 10 & 7 & 9 & 8 \end{array} \right)\] \[\sigma_4 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 & 13 & 11 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 \end{array} \right)\]
décomposer \(\sigma_i\) en cycles à supports disjoints.
déterminer l’ordre de \(\sigma_i\).
d\'eterminer la signature de $\sigma_i$.
Calculer les puissances successives du cycle \(\sigma = (10\,\,\,15\,\,\,11\,\,\,13)\). Quel est l’inverse de \(\sigma_1\) ?
Calculer \(\sigma_2^{2008}\).
Déterminer, sans fatigue excessive, la signature de \[\sigma_3\circ \sigma_4 \circ \sigma_{3}^{-4} \circ \sigma_{4}^{3}\circ \sigma_3\circ \sigma_4 \circ \sigma_3 \circ \sigma_4 \circ \sigma_3^{-1} \circ \sigma_4^{-6}.\]
Combien y a-t-il de permutations \(g\) de \(\{1, \dots, 15\}\) telles que \(\sigma_1\circ g = g\circ \sigma_1\) ?