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On définit une permutation $\sigma$ de l’ensemble $\{1, 2, \dots, 15\}$ par la suite finie des entiers $\sigma(1)$ , $\sigma(2), \dots, \sigma(15)$ . Par exemple $\sigma_1 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 2 & 7 & 1 & 14 & 3 & 12 & 8 & 9 & 6 & 15 & 13 & 4 & 10 & 5 & 11 \end{array} \right)$ signifie $\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 7$ , etc…Soient $\sigma_2 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 7 & 6 & 5 & 8 & 9 & 3 & 2 & 15 & 4 & 11 & 13 & 10 & 12 & 14 & 1 \end{array} \right)$ $\sigma_3 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 1 & 15 & 2 & 14 & 3 & 13 & 4 & 12 & 5 & 11 & 6 & 10 & 7 & 9 & 8 \end{array} \right)$ $\sigma_4 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 & 13 & 11 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 \end{array} \right)$

Pour $i=1, \dots, 4$ ,

décomposer $\sigma_i$ en cycles à supports disjoints.

déterminer l’ordre de $\sigma_i$ .

déterminer la signature de $\sigma_i$ .

Calculer les puissances successives du cycle $\sigma = (10\,\,\,15\,\,\,11\,\,\,13)$ . Quel est l’inverse de $\sigma_1$ ?

Calculer $\sigma_2^{2008}$ .

Déterminer, sans fatigue excessive, la signature de $\sigma_3\circ \sigma_4 \circ \sigma_{3}^{-4} \circ \sigma_{4}^{3}\circ \sigma_3\circ \sigma_4 \circ \sigma_3 \circ \sigma_4 \circ \sigma_3^{-1} \circ \sigma_4^{-6}.$

Combien y a-t-il de permutations $g$ de $\{1, \dots, 15\}$ telles que $\sigma_1\circ g = g\circ \sigma_1$ ?

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