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Soient $A,F$ deux points distincts, $D$ leur médiatrice, ${\cal H}$ l’hyperbole de foyer $F$ , directrice $D$ , excentricité 2, et ${\cal C}$ un cercle passant par $A$ et $F$ , de centre $I$ .

Pour $M \in {\cal C}$ , montrer que $M \in {\cal H} \Leftrightarrow 3\overline{(\vec{IM},D)} \equiv \overline{(\vec{IF},D)}\ [2\pi]$ .

En déduire que si $I \notin (AF)$ , ${\cal C}$ coupe ${\cal H}$ aux sommets d’un triangle équilatéral.