On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes \(a, b, c, d\) sont cocycliques ou alignés si et seulement si leur birapport \[[a,b,c,d]:= \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)}\]
est réel.
Soient \(\mathcal{C}_1 , \mathcal{C}_2 , \mathcal{C}_3\) et \(\mathcal{C}_4\) quatre cercles du plan vérifiant la condition suivante :
\(\mathcal{C}_1\) coupe \(\mathcal{C}_2\) en deux points distincts \(z_1\) et \(w_1\), qui coupe \(\mathcal{C}_3\) en deux points distincts \(z_2\) et \(w_2\), qui coupe \(\mathcal{C}_4\) en deux points distincts \(z_3\) et \(w_3\), qui coupe \(\mathcal{C}_1\) en deux points distincts \(z_4\) et \(w_4\).
On suppose les huit points ci-dessus tous distincts.
Démontrer que \[\frac{[z_1 , w_2 , z_2 , w_1] \cdot [z_3, w_4, z_4, w_3]}{[z_2,w_3,z_3,w_2] \cdot [z_4 , w_1 ,z_1 , w_4]}=[z_1,z_3,z_2,z_4] \cdot [w_1,w_3,w_2,w_4].\]
En déduire que si \(Z_1 , Z_2 , Z_3 , Z_4\) sont alignés ou cocycliques, alors il en est de même de \(W_1 , W_2 , W_3 , W_4\).