\(f\) est de classe \(C^\infty\) sur son domaine \(\Rr\setminus\{-1,1\}\) en tant que fraction rationelle et en particulier admet un développement limité à tout ordre en \(0\). Pour tout entier naturel \(n\), on a

\[f(x)\underset{x\rightarrow0}{=}x+x^3+...+x^{2n+1}+o(x^{2n+1}),\] Par unicité des coefficients d’un développement limité et d’après la formule de Taylor-Young, on obtient

Ensuite, pour \(x\notin\{-1,1\}\), et \(n\) entier naturel donné,

\[f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}\right)^{(n)}(x)=\frac{n!}{2}\left(\frac{1}{(1-x)^{n+1}}- \frac{(-1)^{n}}{(1+x)^{n+1}}\right).\]

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