Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et \((v_{n}(x))_{n}\) par : \[\forall n\in \Nn,u_{n+1}(x)=\frac{u_{n}(x)+v_{n}(x)}{2},v_{n+1}(x)= \sqrt{u_{n}(x)v_{n}(x)},u_{0}(x)=1,v_{0}(x)=x.\]
Montrer que ces deux suites convergent vers une même limite \(\ell_{x}.\)
Soit \(f:\Rr^{+}\rightarrow \Rr\) définie par: \(f(x)=\ell_{x}.\) Calculer \(f(1),f(0),\) donner \(f(\frac{1}{x})\) en fonction de \(f(x)\) si \(x>0.\) Montrer que \(f\) est croissante, en déduire le sens de variations de \(x\rightarrow \frac{f(x)}{x}.\)
Montrer que \(f\) est dérivable en \(1\) (on utilisera \(\sqrt{x}\leq f(x)\leq \frac{1+x}{2}\)) puis que \(\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty .\)
Montrer que \(f\) est continue sur \(\Rr^{+*},\) puis que \(f\) est continue en \(0.\)
Donner l’allure du graphe de \(f,\) préciser la tangente en \(0\) ainsi que le comportement asymptotique en \(+\infty .\)