L1 Analyse Développement limité Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 1258

Soit x∈R+,x\in \Rr^{+}, on définit (un(x))n(u_{n}(x))_{n} et (vn(x))n(v_{n}(x))_{n} par : ∀n∈N,un+1(x)=un(x)+vn(x)2,vn+1(x)=un(x)vn(x),u0(x)=1,v0(x)=x.\forall n\in \Nn,u_{n+1}(x)=\frac{u_{n}(x)+v_{n}(x)}{2},v_{n+1}(x)= \sqrt{u_{n}(x)v_{n}(x)},u_{0}(x)=1,v_{0}(x)=x.

1

Montrer que ces deux suites convergent vers une même limite ℓx.\ell_{x}.

2

Soit f:R+→Rf:\Rr^{+}\rightarrow \Rr définie par: f(x)=ℓx.f(x)=\ell_{x}. Calculer f(1),f(0),f(1),f(0), donner f(1x)f(\frac{1}{x}) en fonction de f(x)f(x) si x>0.x>0. Montrer que ff est croissante, en déduire le sens de variations de x→f(x)x.x\rightarrow \frac{f(x)}{x}.

3

Montrer que ff est dérivable en 11 (on utilisera x≤f(x)≤1+x2\sqrt{x}\leq f(x)\leq \frac{1+x}{2}) puis que lim⁡x→∞f(x)=+∞.\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty .

4

Montrer que ff est continue sur R+∗,\Rr^{+*}, puis que ff est continue en 0.0.

5

Donner l’allure du graphe de f,f, préciser la tangente en 00 ainsi que le comportement asymptotique en +∞.+\infty .

Exercice fz6l

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