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Soient $a,b\in\R$. Montrer que $\int_{t=a}^b f(t) \cos(nt)\,d t\to0$ lorsque $n\to\infty$.

On suppose que $f$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. Soit $u_n= \int_{t=0}^{n\pi} \sin^2(nt) f(t)\,d t$. Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ admet une limite quand $n\to\infty$ et la préciser.