Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées $\omega, -\omega$ de $z = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ , nous obtenons $\omega = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}},$ qui peut aussi s’écrire : $\omega = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt 2} +i \frac 12 \sqrt{2-\sqrt 2}.$

Mais nous remarquons que $z$ s’écrit également $z = e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $e^{i\frac{\pi}{8}}$ vérifie $\left (e^{i\frac{\pi}{8}}\right)^2 = e^{\frac{2i\pi}{8}} = e^{i\frac{\pi}{4}}.$ Cela signifie que $e^{i\frac{\pi}{8}}$ est une racine carrée de $z$ , donc $e^{i\frac{\pi}{8}} = \cos \frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}$ est égal à $\omega$ ou $-\omega$ . Comme $\cos \frac{\pi}{8} > 0$ alors $e^{i\frac{\pi}{8}} = \omega$ et donc par identification des parties réelles et imaginaires : $\cos \frac{\pi}{8} = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt 2} \quad \text{ et }\quad \sin \frac{\pi}{8} = \frac 12 \sqrt{2-\sqrt 2}.$

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