Espaces $L^{p}(\mu)$

\textbf{D\'efinition.} \' Etant donn \' e un espace mesur \' e $( \Omega , \Sigma , \mu )$, on note pour $1 \leq p <+ \infty $, \begin{equation*} \begin{array} {l} \mathcal{L} ^{p}( \mu ) := \{ f~: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{mesurable} , \, \| f \| _{p} <+ \infty \} , \quad \text{avec} \quad \| f \| _{p} := \left ( \int _{ \Omega } |f|^p \, d \mu \right )^{ \frac{1} {p}} \quad \text{et} \\ \mathcal{L} ^{ \infty }( \mu ) := \{ f~: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{mesurable} , \| f \| _{ \infty } < + \infty \} ,~ \text{avec} ~ \| f \| _{ \infty } := \inf \{ M \geq 0, |f| \leq M ~ \mu - \text{pp} \} . \end{array} \end{equation*} On d \' efinit les espaces $L^p( \mu )$ comme les espaces vectoriels quotients de $ \mathcal{L} ^{p}( \mu )$ par la relation d' \' equivalence $f \sim g \Leftrightarrow f = g \quad \mu - \text{presque partout} $.