Soit \(a, b \geq 0\) et soit \(p,q \in (1, +\infty)\) tel que \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) (on dit que \(p\) et \(q\) sont conjugués au sens de Young). Montrer l’inégalité de Young : \[ab \leq \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q.\] On pourra considérer la fonction \(\theta~:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(\theta(a) = \frac{1}{p} a^{p} + \frac{1}{q} b^{q} - ab\).
Soit de nouveau \(p,q \in (1, +\infty)\) tel que \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) et \(f\in L^{p}(\mu)\), \(g\in L^{q}(\mu)\). En utilisant la question précédente, montrer que pour tout \(\lambda>0\) \[\int_{\Omega} |fg|\,d\mu \leq \frac{\lambda^{p}}{p}\int_{\Omega} |f|^{p}\,d\mu + \frac{\lambda^{-q}}{q} \int_{\Omega} |g|^{q}\,d\mu.\] Optimiser cette inégalité par rapport à \(\lambda\) et montrer l’inégalité de Hölder : \[\| fg\|_{1} \leq \|f\|_{p} \,\|g\|_{q}.\] Cette inégalité est-elle vraie pour \(p=1\) et \(q=+\infty\) ?
Soient \(p\) et \(p'\) dans \([1, +\infty[\) (pas nécessairement conjugués). Montrer que si \(f\) appartient à \(L^{p}(\mu) \cap L^{p'}(\mu)\), alors \(f\) appartient à \(L^{r}(\mu)\) pour tout \(r\) compris entre \(p\) et \(p'\).
Montrer que si \(\mu\) est une mesure finie alors \[L^{\infty}(\mu) \subset \bigcap_{p\geq 1} L^{p}(\mu),\] et, pour tout \(f\), \[\lim_{p\rightarrow+\infty}\|f\|_{p} = \|f\|_{\infty}.\]
Montrer que si \(f \in L^p(\mu)\) et \(g\in L^q(\mu)\) avec \(\frac 1p + \frac 1q = \frac 1r\), alors \(f\cdot g\in L^r(\mu)\) et \[\| fg\|_{r} \leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.\]