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Soit $a, b \geq 0$ et soit $p,q \in (1, +\infty)$ tel que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ (on dit que $p$ et $q$ sont conjugués au sens de Young). Montrer l’inégalité de Young : $$ab \leq \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q.$$ On pourra considérer la fonction $\theta~:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $\theta(a) = \frac{1}{p} a^{p} + \frac{1}{q} b^{q} - ab$.

Soit de nouveau $p,q \in (1, +\infty)$ tel que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ et $f\in L^{p}(\mu)$, $g\in L^{q}(\mu)$. En utilisant la question précédente, montrer que pour tout $\lambda>0$ $$\int_{\Omega} |fg|\,d\mu \leq \frac{\lambda^{p}}{p}\int_{\Omega} |f|^{p}\,d\mu + \frac{\lambda^{-q}}{q} \int_{\Omega} |g|^{q}\,d\mu.$$ Optimiser cette inégalité par rapport à $\lambda$ et montrer l’inégalité de Hölder : $$\| fg\|_{1} \leq \|f\|_{p} \,\|g\|_{q}.$$ Cette inégalité est-elle vraie pour $p=1$ et $q=+\infty$ ?

Soient $p$ et $p'$ dans $[1, +\infty[$ (pas nécessairement conjugués). Montrer que si $f$ appartient à $L^{p}(\mu) \cap L^{p'}(\mu)$, alors $f$ appartient à $L^{r}(\mu)$ pour tout $r$ compris entre $p$ et $p'$.

Montrer que si $\mu$ est une mesure finie alors $$L^{\infty}(\mu) \subset \bigcap_{p\geq 1} L^{p}(\mu),$$ et, pour tout $f$, $$\lim_{p\rightarrow+\infty}\|f\|_{p} = \|f\|_{\infty}.$$

Montrer que si $f \in L^p(\mu)$ et $g\in L^q(\mu)$ avec $\frac 1p + \frac 1q = \frac 1r$, alors $f\cdot g\in L^r(\mu)$ et $$\| fg\|_{r} \leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$$