L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Espace L^p 2 questions

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Soit {fn}n∈N\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} la suite de fonctions définies par : fn(x)=n1[n,n+1n](x).f_{n}(x) = \sqrt{n} \mathbf{1}_{[n, n+\frac{1}{n}]}(x).

1

Montrer que fnf_{n} converge faiblement vers 00 dans L2([0,+∞[)L^{2}([0, +\infty[) mais ne converge pas fortement dans L2([0,+∞[)L^2([0, +\infty[).

2

Montrer que fnf_{n} converge fortement vers 00 dans Lp([0,+∞[)L^{p}([0, +\infty[) pour p<2p<2.

Exercice OPNV

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