Soit \(\Omega\) un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n\) dont la mesure de Lebesgue est finie : \(\mu(\Omega)< +\infty\). Pour tout \(1\leq p <+\infty\), on note \(L^p(\Omega)\) l’espace des fonctions \(f~:\Omega \rightarrow \mathbb{C}\) telles que \(\|f\|_{p} := \left(\int_{\Omega} |f|^{p}(x)\,dx\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty\) modulo l’équivalence \(f\sim g \Leftrightarrow f-g = 0 ~\mu-p.p\). L’espace des fonctions essentiellement bornées sera noté \(L^{\infty}(\Omega).\)
Montrer que si \(q\leq p\), alors \(L^{p}(\Omega) \subset L^{q}(\Omega)\). En particulier, pour \(1<q<2<p\), on a : \[L^{\infty}(\Omega) \subset L^{p}(\Omega) \subset L^{2}(\Omega) \subset L^{q}(\Omega) \subset L^{1}(\Omega).\]
Soit \(\mathcal{B}^{n}(0, 1)\) la boule unité centrée en \(0\) de \(\mathbb{R}^{n}\). En considérant les fonctions \[f_{\alpha}(x)= |x|^{-\alpha}\] montrer que pour \(q<p\), l’inclusion \(L^{p}(\mathcal{B}^{n}(0,1)) \subset L^{q}(\mathcal{B}^{n}(0,1))\) est stricte.