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Soit $\Omega$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ dont la mesure de Lebesgue est finie : $\mu(\Omega)< +\infty$ . Pour tout $1\leq p <+\infty$ , on note $L^p(\Omega)$ l’espace des fonctions $f~:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ telles que $\|f\|_{p} := \left(\int_{\Omega} |f|^{p}(x)\,dx\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty$ modulo l’équivalence $f\sim g \Leftrightarrow f-g = 0 ~\mu-p.p$ . L’espace des fonctions essentiellement bornées sera noté $L^{\infty}(\Omega).$

Montrer que si $q\leq p$ , alors $L^{p}(\Omega) \subset L^{q}(\Omega)$ . En particulier, pour $1<q<2<p$ , on a : $L^{\infty}(\Omega) \subset L^{p}(\Omega) \subset L^{2}(\Omega) \subset L^{q}(\Omega) \subset L^{1}(\Omega).$

Soit $\mathcal{B}^{n}(0, 1)$ la boule unité centrée en $0$ de $\mathbb{R}^{n}$ . En considérant les fonctions $f_{\alpha}(x)= |x|^{-\alpha}$ montrer que pour $q<p$ , l’inclusion $L^{p}(\mathcal{B}^{n}(0,1)) \subset L^{q}(\mathcal{B}^{n}(0,1))$ est stricte.

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