L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Espace L^p 4 questions

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Théorème 1.(Théorème de Riesz) Pour tout 1≤p≤+∞1\leq p\leq +\infty, l’espace Lp(μ)L^{p}(\mu) est complet.

Théorème 2. Soit pp tel que 1≤p≤+∞1\leq p \leq +\infty et soit {fn}n∈N\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} une suite de Cauchy dans Lp(μ)L^{p}(\mu) convergeant vers une fonction f∈Lp(μ)f\in L^{p}(\mu). Alors il existe une sous-suite de {fn}n∈N\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} qui converge ponctuellement presque-partout vers ff.

Le but de cet exercice est de démontrer les théorèmes 1 et 2.

1

Cas de L∞(μ)L^{\infty}(\mu).

2

Soit {fn}n∈N\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} une suite de Cauchy de L∞(μ)L^{\infty}(\mu). Pour k,m,n≥1k, m, n\geq 1, considérons les ensembles Ak:={x∈Ω,∣fk(x)∣>∥fk∥∞} ;Bm,n:={x∈Ω,∣fm(x)−fn(x)∣>∥fm−fn∥∞}.\begin{aligned} A_{k} := \{ x\in\Omega, |f_{k}(x)| > \|f_{k}\|_{\infty}\}~; & B_{m,n} := \{ x\in\Omega, |f_{m}(x) - f_{n}(x)| > \|f_{m} - f_n\|_{\infty} \}. \end{aligned} Montrer que E:=⋃kAk⋃n,mBm,nE := \bigcup_{k} A_{k} \bigcup_{n,m} B_{m,n} est de mesure nulle.

3

Montrer que sur le complémentaire de EE, la suite {fn}n∈N\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} converge uniformément vers une fonction ff.

4

En déduire que L∞(μ)L^{\infty}(\mu) est complet.

Exercice yohs

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