Théorème 1.(Théorème de Riesz)
Pour tout \(1\leq p\leq +\infty\), l’espace \(L^{p}(\mu)\) est
complet.
Théorème 2. Soit \(p\) tel que \(1\leq p \leq +\infty\) et soit \(\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de Cauchy dans \(L^{p}(\mu)\) convergeant vers une fonction \(f\in L^{p}(\mu)\). Alors il existe une sous-suite de \(\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) qui converge ponctuellement presque-partout vers \(f\).
Le but de cet exercice est de démontrer les théorèmes 1 et 2.
Cas de \(L^{\infty}(\mu)\).
Soit \(\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de Cauchy de \(L^{\infty}(\mu)\). Pour \(k, m, n\geq 1\), considérons les ensembles \[\begin{aligned} A_{k} := \{ x\in\Omega, |f_{k}(x)| > \|f_{k}\|_{\infty}\}~; & B_{m,n} := \{ x\in\Omega, |f_{m}(x) - f_{n}(x)| > \|f_{m} - f_n\|_{\infty} \}.\end{aligned}\] Montrer que \(E := \bigcup_{k} A_{k} \bigcup_{n,m} B_{m,n}\) est de mesure nulle.
Montrer que sur le complémentaire de \(E\), la suite \(\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) converge uniformément vers une fonction \(f\).
En déduire que \(L^{\infty}(\mu)\) est complet.