Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $L^{p}(\mu)$ avec $1<p<+\infty$ . La fonction $\varphi(t) = |f(x)+\tan (x)|^{p}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut $\begin{align*} \varphi'(t) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{|f(x) + \tan (x) + h g(x)|^{p}-|f(x)+ \tan (x)|^p}{h} \\ &= p |f(x)+\tan (x)|^{p-2} (f(x)+ \tan (x)) g(x), \end{align*}$ lorsque $f(x)$ et $g(x)$ ont un sens, c’est-à-dire pour presque tout $x$ . De plus, d’après le théorème des accroissements finis, on a $\frac{|f(x) + \tan (x)|^{p}-|f(x)|^p}{t} = \varphi'(t_{0}) = p |f(x)+t_0 g(x)|^{p-2} (f(x)+ t_0 g(x)) g(x),$ pour un certain $t_0$ compris entre $0$ et $t$ . Ainsi pour $|t|\leq 1$ , $\begin{equation} \begin{array}{ll} \left|\frac{|f(x) + \tan (x)|^{p}-|f(x)|^p}{t}\right| &= p |f(x)+t_0 g(x)|^{p-1} |g(x)| \\& \leq p \left(|f(x)| + |g(x)|\right)^{p}\\ & \leq 2^{p-1}\,p \left(|f(x)|^p + |g(x)|^p \right), \end{array} \end{equation}$ où la première inégalité découle de l’inégalité triangulaire et de la majoration $|g(x)| \leq (|f(x)| + |g(x)|)$ , et où la deuxième inégalité provient de la convexité de la fonction $x\mapsto x^p$ pour $p>1$ impliquant en particulier : $\left(\frac{u+v}{2} \right)^p \leq \frac{u^p}{2} + \frac{v^p}{2}$ . Il en découle que $t\mapsto \frac{|f(x) + \tan (x)|^{p}-|f(x)|^p}{t}$ est uniformément bornée par une fonction intégrable. Le théorème de convergence dominée permet alors de dériver sous le signe somme et $\frac{dN}{dt}_{t=0} = p\int_{\Omega} |f(x)|^{p-2} f(x) g(x)\,d\mu.$

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