Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(L^{p}(\mu)\) avec \(1<p<+\infty\). La fonction \(\varphi(t) = |f(x)+\tan (x)|^{p}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée vaut \[\varphi'(t) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{|f(x) + \tan (x) + h g(x)|^{p}-|f(x)+ \tan (x)|^p}{h} = p |f(x)+\tan (x)|^{p-2} (f(x)+ \tan (x)) g(x),\] lorsque \(f(x)\) et \(g(x)\) ont un sens, c’est-à-dire pour presque tout \(x\). De plus, d’après le théorème des accroissements finis, on a \[\frac{|f(x) + \tan (x)|^{p}-|f(x)|^p}{t} = \varphi'(t_{0}) = p |f(x)+t_0 g(x)|^{p-2} (f(x)+ t_0 g(x)) g(x),\] pour un certain \(t_0\) compris entre \(0\) et \(t\). Ainsi pour \(|t|\leq 1\), \[\begin{equation} \begin{array}{ll} \left|\frac{|f(x) + \tan (x)|^{p}-|f(x)|^p}{t}\right| &= p |f(x)+t_0 g(x)|^{p-1} |g(x)| \\& \leq p \left(|f(x)| + |g(x)|\right)^{p}\\ & \leq 2^{p-1}\,p \left(|f(x)|^p + |g(x)|^p \right), \end{array} \end{equation}\] où la première inégalité découle de l’inégalité triangulaire et de la majoration \(|g(x)| \leq (|f(x)| + |g(x)|)\), et où la deuxième inégalité provient de la convexité de la fonction \(x\mapsto x^p\) pour \(p>1\) impliquant en particulier : \(\left(\frac{u+v}{2} \right)^p \leq \frac{u^p}{2} + \frac{v^p}{2}\). Il en découle que \(t\mapsto \frac{|f(x) + \tan (x)|^{p}-|f(x)|^p}{t}\) est uniformément bornée par une fonction intégrable. Le théorème de convergence dominée permet alors de dériver sous le signe somme et \[\frac{dN}{dt}_{t=0} = p\int_{\Omega} |f(x)|^{p-2} f(x) g(x)\,d\mu.\]

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