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Pour quelle valeur de $\alpha$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{\left(1 + |x|^2 \right)^{\alpha}}$ appartient-elle à $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ ?

Pour quelle valeur de $\beta$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{|x|^{\beta}} e^{-\frac{|x|^2}{2}}$ appartient-elle à $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ ?

Soit $1\leq q < p \leq +\infty$. En utilisant $(a)$ et $(b)$, trouver une fonction $f$ qui appartienne à $L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ mais pas à $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ et une fonction $g$ qui appartienne à $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ mais pas à $L^{q}(\mathbb{R}^{n})$.

Soit $1\leq q< p<+\infty$. Montrer que l’espace $L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \cap L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ est un espace de Banach pour la norme $\|\cdot \|_{p,q} = \| \cdot \|_{p} + \| \cdot \|_{q}$.

Soit $r$ tel que $q< r<p$. Montrer que $$\|f\|_{r} \leq \|f\|_{p}^{\alpha}\|f\|_{q}^{1-\alpha}$$ où $\frac{1}{r} = \frac{\alpha}{p} + \frac{1-\alpha}{q}$, $\alpha\in[0, 1]$. On pourra écrire $r = r\alpha + r(1-\alpha)$ et utiliser l’inégalité de Hölder pour un couple de réels conjugués bien choisi.

En déduire que si $f_{n}$ converge vers $f$ dans $L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \cap L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ alors $f_{n}$ converge vers $f$ dans $L^{r}(\mathbb{R}^{n})$, i.e $L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \cap L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ est un sous-espace de Banach de $L^{r}(\mathbb{R}^{n})$.

Soit $f\in L^{p}([0, +\infty[)\cap L^{q}([0, +\infty[)$ avec $1\leq q<2<p$. Montrer que la fonction $h$ définie par $h(r) = \frac{1}{\sqrt{r}}f(r)$ appartient à $L^{1}([0, +\infty[)$ et trouver des constantes $C_{p,q}$ et $\gamma$ telles que $\|h\|_{1} \leq C_{p, q} \|f\|_{q}^{\gamma}\|f\|_{p}^{(1-\gamma)}$.