Soit \(\Omega = \mathbb{R}^{n}\) muni de la mesure de Lebesgue. Pour tout \(1\leq p <+\infty\), on note \(L^p(\mathbb{R}^{n})\) l’espace des fonctions \(f~:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{C}\) telles que \(\|f\|_{p} := \left(\int_{\mathbb{R}^{n}} |f|^{p}(x)\,dx\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty\) modulo l’équivalence \(f\sim g \Leftrightarrow f-g = 0 ~\mu-p.p\). L’espace des fonctions essentiellement bornées sera noté \(L^{\infty}(\mathbb{R}^n).\)
Pour quelle valeur de \(\alpha\) la fonction \(x\mapsto \frac{1}{\left(1 + |x|^2 \right)^{\alpha}}\) appartient-elle à \(L^{p}(\mathbb{R}^{n})\) ?
Pour quelle valeur de \(\beta\) la fonction \(x\mapsto \frac{1}{|x|^{\beta}} e^{-\frac{|x|^2}{2}}\) appartient-elle à \(L^{p}(\mathbb{R}^{n})\) ?
Soit $1\leq q < p \leq +\infty$. En utilisant $(a)$ et $(b)$, trouver une fonction $f$ qui appartienne \`a $L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ mais pas \`a $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ et une fonction $g$ qui appartienne \`a $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ mais pas \`a $L^{q}(\mathbb{R}^{n})$.
Soit \(1\leq q< p<+\infty\). Montrer que l’espace \(L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \cap L^{q}(\mathbb{R}^{n})\) est un espace de Banach pour la norme \(\|\cdot \|_{p,q} = \| \cdot \|_{p} + \| \cdot \|_{q}\).
Soit \(r\) tel que \(q< r<p\). Montrer que \[\|f\|_{r} \leq \|f\|_{p}^{\alpha}\|f\|_{q}^{1-\alpha}\] où \(\frac{1}{r} = \frac{\alpha}{p} + \frac{1-\alpha}{q}\), \(\alpha\in[0, 1]\). On pourra écrire \(r = r\alpha + r(1-\alpha)\) et utiliser l’inégalité de Hölder pour un couple de réels conjugués bien choisi.
En d\'eduire que si $f_{n}$ converge vers $f$ dans $L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \cap L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ alors $f_{n}$ converge vers $f$ dans $L^{r}(\mathbb{R}^{n})$, i.e $L^{p}(\mathbb{R}^{n}) \cap L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ est un sous-espace de Banach de $L^{r}(\mathbb{R}^{n})$.
Soit \(f\in L^{p}([0, +\infty[)\cap L^{q}([0, +\infty[)\) avec \(1\leq q<2<p\). Montrer que la fonction \(h\) définie par \(h(r) = \frac{1}{\sqrt{r}}f(r)\) appartient à \(L^{1}([0, +\infty[)\) et trouver des constantes \(C_{p,q}\) et \(\gamma\) telles que \(\|h\|_{1} \leq C_{p, q} \|f\|_{q}^{\gamma}\|f\|_{p}^{(1-\gamma)}\).