L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Espace L^p 2 questions

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Soit k∈Nk\in\N et α∈]0,1]\alpha\in\left]0,1\right]. On rappelle qu’on note Ck,α(R)C^{k,\alpha}(\R) l’ensemble des fonctions gg de classe CkC^k sur R\R, dont la kk-ième dérivée est höldérienne, c’est-à-dire vérifie ∃C>0, ∀x,y∈R,∣g(k)(x)−g(k)(y)∣≤C∣x−y∣α.\exists C>0,\ \forall x,y\in \R,\qquad |g^{(k)}(x)-g^{(k)}(y)|\leq C |x-y|^\alpha. (En particulier, si α=1\alpha =1, ce sont les fonctions de kk-ième dérivée lipschitzienne.)

1

Soit f∈L1(R)f\in L^1(\R) à support compact, et g∈C0,α(R)g \in C^{0,\alpha}(\R). Montrer que f∗g∈C0,α(R)f*g \in C^{0,\alpha}(\R). En déduire que si g∈Ck,α(R)g\in C^{k,\alpha}(\R), alors f∗g∈Ck,α(R)f*g \in C^{k,\alpha}(\R).

2

Soit f∈L1(R)f\in L^1(\R) à support quelconque, et g∈C0,α(R)g \in C^{0,\alpha}(\R) bornée. Montrer que f∗g∈C0,α(R)f*g \in C^{0,\alpha}(\R) et est bornée. En déduire que si g∈Ck,α(R)g\in C^{k,\alpha}(\R), bornée ainsi que toutes ses dérivées, alors f∗gf*g aussi.

Exercice dSlU

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