Soit \(k\in\N\) et \(\alpha\in\left]0,1\right]\). On rappelle qu’on note \(C^{k,\alpha}(\R)\) l’ensemble des fonctions \(g\) de classe \(C^k\) sur \(\R\), dont la \(k\)-ième dérivée est höldérienne, c’est-à-dire vérifie \[\exists C>0,\ \forall x,y\in \R,\qquad |g^{(k)}(x)-g^{(k)}(y)|\leq C |x-y|^\alpha.\] (En particulier, si \(\alpha =1\), ce sont les fonctions de \(k\)-ième dérivée lipschitzienne.)
Soit \(f\in L^1(\R)\) à support compact, et \(g \in C^{0,\alpha}(\R)\). Montrer que \(f*g \in C^{0,\alpha}(\R)\). En déduire que si \(g\in C^{k,\alpha}(\R)\), alors \(f*g \in C^{k,\alpha}(\R)\).
Soit \(f\in L^1(\R)\) à support quelconque, et \(g \in C^{0,\alpha}(\R)\) bornée. Montrer que \(f*g \in C^{0,\alpha}(\R)\) et est bornée. En déduire que si \(g\in C^{k,\alpha}(\R)\), bornée ainsi que toutes ses dérivées, alors \(f*g\) aussi.