L3 Théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue Espace L^p 2 questions

exo7 5965

Soit Ω=N\Omega = \mathbb{N} muni de la mesure de comptage. Pour tout 1≤p<+∞1\leq p <+\infty, on note ℓp\ell^p l’espace des suites complexes (un)n∈N(u_{n})_{n\in\mathbb{N}} telles que ∥u∥p:=(∑i=0+∞∣un∣p)1p<+∞\|u\|_{p} := \left(\sum_{i=0}^{+\infty} |u_{n}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty. L’espace des suites bornées sera noté ℓ∞.\ell^{\infty}.

1

Montrer que si q≤pq\leq p, alors ℓq⊂ℓp\ell^{q}\subset \ell^{p}. En particulier, pour 1<q<2<p1<q<2<p, on a : ℓ1⊂ℓq⊂ℓ2⊂ℓp⊂ℓ∞.\ell^{1} \subset \ell^{q} \subset \ell^{2} \subset \ell^{p} \subset \ell^{\infty}.

2

En considérant les suites un(α)=n−αu^{(\alpha)}_{n} = n^{-\alpha}, montrer que pour q<pq<p, l’inclusion ℓq⊂ℓp\ell^{q} \subset \ell^{p} est stricte.

Exercice 5Lwu

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