Soit \(\Omega = \mathbb{N}\) muni de la mesure de comptage. Pour tout \(1\leq p <+\infty\), on note \(\ell^p\) l’espace des suites complexes \((u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\) telles que \(\|u\|_{p} := \left(\sum_{i=0}^{+\infty} |u_{n}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty\). L’espace des suites bornées sera noté \(\ell^{\infty}.\)
1
Montrer que si \(q\leq p\), alors \(\ell^{q}\subset \ell^{p}\). En particulier, pour \(1<q<2<p\), on a : \[\ell^{1} \subset \ell^{q} \subset \ell^{2} \subset \ell^{p} \subset \ell^{\infty}.\]
2
En considérant les suites \(u^{(\alpha)}_{n} = n^{-\alpha}\), montrer que pour \(q<p\), l’inclusion \(\ell^{q} \subset \ell^{p}\) est stricte.